Antes de iniciar, por favor realize a atividade diagnóstica clicando no link a seguir:
→Questionário Norteador
-Conjuntos Numéricos
Surgiram da necessidade de contar, classificar e agrupar objetos seres e valores.São organizados da seguinte forma:
Da mesma forma como classificamos objetos e seres quanto as suas qualidades, também o fazemos com os números, e desta forma podemos destacar:
- Nº Naturais
É composto pelos números não decimais maiores ou iguais a zero.
-Nº Inteiros
É formado pelos números não decimais positivos e negativos
-Nº Racionais
São números geralmente resultados a partir de uma divisão e que apresentam um padrão observável de repetição como nos valores a seguir:
0,333333...... 2,45454545..... 6,123123...
-Nº Reais
Formado por números positivos e negativos de formato decimal ou fracionário bem como por raízes numéricas incluindo as raízes irracionais.
Nº Irracionais
São os números não exatos e que não apresentam um padrão de repetição observável como:
π =3,141592653589793238...
√2 = 1,414213562373....
-Nº Complexos
Conjunto maior e mais completo do que o do números Reais, e que apresenta determinadas propriedades especiais, será melhor estudado no 3ºano do ensino médio.
-Arredondamento de Valores
É a aproximação de um dado valor para outro de menor quantidade de casas decimais.
Exemplo:
Arredonde os valores a seguir para duas casas decimais:
a) 2,645591 c) 7,11435
b) 5,142326 d) 12,99634
-Notação Cientifica
É a forma que permite expressar grandezas relativamente grandes ou pequenas no formato:
a.10n onde: 1 ≤ a <10
Exemplo:
Escreva os valores a seguir na forma de Notação Cientifica
a) 2000 d) 0,03
b) 45.000.000 e) 0,00729
c) 7.320.000.000 f) 0,0000012
Exercícios (No seu Caderno Copie e Responda as questões a seguir)
1-Com base nas afirmações disponibilizadas no texto assinale (V) ou (F) para as afirmações:
( ) Conjunto numérico é um agrupamento de objetos, seres e coisas
( ) Os números racionais são valores decimais que apresentam um padrão repetitivo observável
( ) O arredondamento de 5,1267 para duas casas decimais resulta em 5,127
( ) A notação cientifica permite representar valores muito grandes ou muito pequenos através do uso de potências de base 10
2- Arredonde os valores abaixo para duas casas decimais:
a) 0,07643 c) 12,36512
b) 3,99412 d) 8,11111.....
3- Efetuando-se a divisão de 355 por 113 obtemos 3,1415929203..., considerando apenas duas casas decimais, teremos:
a) 3,14 b) 3,15 c) 3,142 d) 3,141
4-Ao somar os valores 2,3.103 + 5,1.102 Obtemos,
a)5400 b) 540 c) 281 d) 2810
5- Escreva os valores abaixo na forma de notação cientifica
a) 364.000.000 c) 0,00000125
b) 82.000.000.000 d) 0,0341
Clique no link a seguir para realizar a atividade online: →Arredondamento/Notação Cientifica
-RegularidadesS
São sequências que apresentam um padrão cíclico observável como em certos fenômenos naturais (fases da lua, duração do ano, duração do dia, estações do ano etc) e em algumas sequências numéricas.
Exemplos:
Encontre o vigésimo termo das regularidades abaixo:
Observe a sequência: 1,1,2,3,3,1,1,2,3,3,1,1... supondo que a lei de formação desta sequência permaneça a mesma, determine o 38º e o 149º termo.
Observe a sequência de figuras:
Supondo que o padrão de formação permaneça o mesmo, determine o 28º e o 102º termo.
Encontre o centésimo termo das sequências:
-Sequências definidas por sentenças matemáticas
São sequências caracterizadas por uma expressão matemática denominada termo geral.
Exemplos:
Determine o cinco primeiros termos da sequência numérica definida pela sentença 2n + 3.
Escreva a sequência dos seis primeiros termos do termo geral 3n – 1.
Em relação a sequência de termo geral 5n+2 determine:
a) O primeiro termo (a1)
a1 = 5.1 + 2
a1 = 5 + 2
a1 = 7
b) O décimo quinto termo (a15)
a15= 5.15 + 2
a15 = 75 + 2
a15 = 77
c) A posição do valor 102 (n)
5n + 2 = 1025
n = 102-25
n = 100n = 100/5
n = 20
Exercícios (No seu Caderno Copie e Responda as questões a seguir)
1-Determine o trigésimo termo das sequências:
a) 1,1,2,2,3,3,1,1,2,2,3,3...
b) a,e,i,o,u,a,e,i,o,u,a,e,i,o,u....
2-Observe a sequência de figuras a seguir:
Desenhe a centésima segunda figura desta seqüência.
3- Escreva a sequência dos sete primeiros termos do termo geral an=3n+4
4- Para a expressão an=6n – 2 encontre:
a) o valor do quinto termo (a5)
b) a posição do valor 184
5- Observe como construir a sequência de Hipsicles e complete:
6- Na figura a seguir os quadrados são formados por palitos.
a) Represente as figuras na forma de uma sequência numérica
b) Quantos palitos haverá na 6º figura?
Progressões
Denomina-se progressão à seqüência numérica caracterizada por uma sucessão de valores obtidos a partir de uma expressão matemática denominada termo geral.
Progressão Aritmética
São sequências caracterizadas por uma razão somativa, onde cada termo a partir do segundo é igual ao anterior mais a razão.
Exemplos:
Nas sequencias abaixo, indique quais representam uma P.A
a) 0,2,4,6,8... d) (a,b,c...)
b) (2,10,50,250...) e) (-3,-1,1,3...)
c) (-2,-4,-6,-8...)
Nas P.As abaixo encontre a razão:
a) 6,18,30,42...) c) (5,9,13,17)
b)(-7,-4,-1...) d) (3, 0, -3, -6...)
Termo Geral da P.A
É a expressão que relaciona os termos de uma progressão aritmética em função de uma razão aditiva (r).
É dada por:
an=a1 + (n-1).r
onde:
an = enésimo termo ou termo geral
a1= 1º termo
r = razão
n = quantidade de termos
Exemplos:
Na progressão (2,5,8,11...) determine:
a) o 1º termo (a1)
a1=2
b) a razão (r)
r = 5 – 2
r = 3
c) o termo geral (an)
an = a1 + (n-1).r
an = 2 + (n-1).3
an= 2 + 3n -3
an= 3n – 1
d) o 20º termo
an = 3n -1
a20=3.20 -1
a20 = 60 -1
a20= 59
e) a posição do valor 149
an = 3n – 1
3n-1 = 149
3n = 149 + 1
3n = 150
n=1503
n = 50ª posição
Exercícios (No seu Caderno Copie e Responda as questões a seguir)
1- Em relação a sequência (6,10,14,18...) responda:
a) Qual o 1º termo (a1)?
b) Qual a razão (r)?
c) Qual o termo geral (an)?
d) Qual o 30º termo (a30)?
e) Qual a posição do valor 42?
2- Dada a P.A (2, 7, 12, 17... encontre:
a) Qual o 1º termo (a1)?
b) Qual a razão (r)?
c) Qual o termo geral (an)?
d) Qual o 20º termo (a30)?
e) Qual a posição do valor 52?
3- Através da expressão an = a1 + (n-1).r encontre a expressão ( termo geral) que melhor representa as progressões, a seguir:
a) (6,11,16,21...)
b) (-4, -2, 0, 2 ...)
4- Através dos conhecimentos adquiridos em progressão aritmética, complete as sequências numéricas abaixo:
a) (5,__,__,__,__,20)
b) ( -3,__,__,__,__,__, 21)
5- Dada a expressão an = 2n + 3, escreva a sequência dos 5 primeiros t ermos desta expressão:
6-(AAP-2016) A figura a seguir representa a quantidade de cadeiras que devem ser colocadas em volta das mesas, em função da quantidade de mesas.
Qual a expressão que melhor representa a quantidade de cadeiras a partir do número de mesas?
a) c=2m+2 c) c=4m+1 e) c=3m-1
b) c=m+4 d) c=3m
Soma dos Termos da P.A
Dada uma sequência caracterizada por uma P.A de razão r constante, de tipo (a1,a2,a3,a4, ... an) obtemos a soma dos seus n termos através da expressão:
Exemplos:Some os valores a seguir:a) (3, 5, 7 , 9 ,11, 13)
3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 48b) (8, 14, 20, 26, 32, 38, 44, 50)
c) Aplicando o raciocínio descrito acima, qual a soma dos 100 primeiros números naturais (1,2,3,4,...100)?S100 = 101.50S100 = 5050
d) Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal de 8 degraus, onde o degrau mais largo medirá 80cm e o mais estreito 20 cm. Qual o tamanho mínimo da peça de madeira a ser cortada para obter os degraus da escada?
1-Dada a expressão an = a1 + (n-1).r encontre a expressão que melhor representa as progressões a seguir:
a) (7, 12, 17, 22 ...)
b) ( -3, 1, 5, 9, 13 ...)
2- Dada a progressão (3, 11, 19, 27, 35...) encontre:
a) O 1º termo ( a1)
b) A razão (r)
c) O termo geral (an)
d) O 120º termo (a120)
3- Qual a soma dos 20 primeiros termos das sequências:
a) (1, 4, 7, 10, ... 58*)
b) (2, 9, 16, 23, 30 ... 135*)
4- Na sequência (5, 8, 11, 14,17...) encontre:
a) O termo geral (an)
b) O 30º termo (a30)
c) A soma dos 30 primeiros termos (S30)
Progressão Geométrica (P.G)
É a sequência numérica caracterizada por uma razão q de ordem multiplicativa, onde cada termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por um valor constante, denominado quociente (q)
Observe:
(3, 6, 12, 24, 48 ...) P.G de razão q = 2
(5, 15 , 45 , 135 ...) P.G de razão q= 3
(-2, 8 ,-32, -128...) P.G de razão q= -4
Exemplos:
Complete com P.A ou P.G
( P.A ) 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... (P.A) 5, 8, 11, 14, 17...
( P.G) 2, 4, 8, 16, 32, 64... (P.G) 5, 15, 45, 135 ...
( P.A) 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... (P.A) -3, 0, 3, 6, 9 ...
( P.G) 3, 6, 9, 12, 15, 18 ... (P.G) -3, -9, -27, -81...
Nas P.Gs a seguir, determine o quociente q
a) (4, 12, 36, 108, 324 ... ) q = 12/4 q = 3
b)( 8, 40, 200, 1000, ... ) q = 40/8 q = 5
c) (-6, 12, -24, 48, -96,...) q = 12/-6 q = -2
d) (40, 20, 10, 5, ...) q = 20/40 q= ½
Termo Geral da P.G
Dada uma sequência numérica caracterizada por uma progressão geométrica de razão q constante, obtemos o termo geral desta sequência através da expressão:
Exemplos:
Na progressão (5,10,20,40,80...) encontre:
a) O 1º termo (a1) a1 = 5
b) A razão (q) q = 2
c) O termo geral (an) an=5.2n-1
Na progressão (2,6,18,54,162...) encontre:
a) O 1º termo (a1) a1 = 2
b) A razão (q) q = 3
c) O termo geral (an) an=2.3n-1
1-Observe a sequência de pontos:
a) Represente a situação acima na forma de uma sequência numérica
b) A sequência obtida é uma P.A ou uma P.G?
c) Qual o termo geral desta sequência?
d) Quantos pontos terá a 8ª figura?
considere37=2187.
2-Para a progressão (-5, 15, -45, 135 ...) responda:
a) Qual o 1º termo (a1)?
b) Qual a razão (q)?
c) Qual o termo geral (an)?
d) Qual o 9º termo (a9)? considere a9=-98415
Soma dos Termos da P.G (finita)
Dada uma sequência numérica caracterizada por uma progressão geométrica de razão q constante, obtemos a soma dos n termos da sequência formada, através da expressão:
Exemplo:
Obtenha a soma dos 5 primeiros termos da P.G (3,6,12,24,48)
S5=3(25-1)2-1
S5=3(32-1)1
S5=96-3
S5=93
Soma dos Termos da PG (infinita)
Suponha uma folha de papel de dimensões 30cmx30cm, como mostrada na ilustração abaixo, a divida na metade, e com a metade restante repita o procedimento, e assim sucessivamente até obter o menor pedaço possível.
Perceba que os valores (1/2 , ¼, 1/8, 1/16 ... ) caracterizam uma Progressão Geométrica onde a soma das partes irá restabelecer a figura original (mesmo que você continue a dividir as partes infinitamente). Desta forma podemos estabelecer a seguinte relação :
limn→∞ Sn =a11-q
Exemplo:
Dada a progressão (2, 1, ½ , ¼, ...) qual a soma de todos os seus termos?
LimSn=21-12
LimSn=212
LimSn=4
Note que na verdade o resultado remete ao termo anterior de 2, (ou seja 4) pois 2, ½, ¼ , são as partes deste valor.
Geratriz:
Denomina-se geratriz a fração que representa um numero racional caracterizado por uma dizima periódica (valores racionais que apresentam um padrão repetitivo).
0,33333..... 2,156156156.... 12,343434...
Tais valores podem ser expressos como uma fração do tipo a/b, através do limite da soma dos termos de uma progressão geométrica infinita.
Observe:
0,3333....
0+(310+3100+31000+310000+…) P.G de razão 1/10
Através da expressão:
Obtemos:
limn→∞ Sn =310 1-110 ⇨limn→∞ Sn =310 910 ⇨limn→∞ Sn =3090
limn→∞ Sn =39
Ao dividir 3 por 9, obtemos a dizima periódica 0,3333... logo a geratriz de 0,333... é a fração 3/9
